بررسی پایداری حالت همگام در شبکه ای از سیستم های آشوبناک

در این مطالعه بعد از معرفی انواع سیستم های دینامیکی، به بررسی معادلات دیفرانسیل عمومی می پردازیم و نشان می دهیم تعیین نقاط ثابت و نوع پایداری آن ها، چگونه به تشخیص رفتار این سیستم ها می انجامد. معادلات دیفرانسیل به دو دسته ی خطی و غیرخطی تقسیم می شوند. معادلات دیفرانسیل خطی می توانند به بخش هایی تفکیک شوند که جواب کلی سیستم، از ترکیب جواب های بخش های آن حاصل می شود. این نوع معادلات دیفرانسیل به روش تحلیلی حل می شوند، در صورتی که معادلات دیفرانسیل غیرخطی حل تحلیلی ندارند. با این وجود، از یک شیوه ی تصویری در بررسی سیستم های خطی استفاده می کنیم که رفتار کیفی آن ها را در فضای فاز نشان می دهد. با تعمیم این شیوه به سیستم های غیرخطی و تعیین رفتار سیستم در نزدیکی نقاط ثابت این سیستم ها، رفتار کیفی این سیستم ها مشخص می شود، اما برای شناخت بیشتر این سیستم ها، استفاده از روش های عددی تنها راه ممکن است. بعد از آن به نوسانگرهای دینامیکی آشوبناک که با معادلات دیفرانسیل غیرخطی توصیف می شوند، می پردازیم. این نوسانگرها رباینده ی شگفت دارند و شدیداً به شرایط اولیه حساسند. یک سیستم در صورتی می تواند این ویژگی ها را از خود نشان دهد که دست کم یک نمای لیاپانف منفی و یک نمای لیاپانف مثبت داشته باشد. بنابراین نوسانگرهای آشوبناک زمان-پیوسته دست کم سه بعدی هستند. در ادامه به همگام سازی نوسانگرهای آشوبناک به عنوان یک رفتار جمعی می پردازیم و خواهیم دید نوسانگرهای آشوبناک نیز وقتی در یک شبکه با هم جفت شوند، می توانند هم آهنگ، هم فاز و حتی منطبق با هم تحول یابند. دوره تناوب همه ی نوسانگرهای آشوبناک را می توان با میانگین گیری از فاصله ی زمانی دو واقعه ی مشابه به دست آورد، در صورتی که فاز را برای هر نوسانگر آشوبناک با توجه به مسیر آن نوسانگر در فضای فاز تعریف می کنیم. بررسی پایداری همگام سازی در شبکه ای از نوسانگرهای آشوبناک بخش اصلی این مطالعه است. اگر اختلال از خمینه ی همگام سازی کاهش یابد، همگام سازی پایدار و اگر رشد کند، ناپایدار است. بزرگ ترین نمای لیاپانف ناشی از دینامیک اختلال از خمینه ی همگام سازی که تابع پایداری اصلی نامیده می شود، می تواند چگونگی تحول اختلال را تعیین کند. اگر مقدار تابع پایداری اصلی به ازای تمام ویژه مقادیر ماتریس جفت شدگی شبکه منفی شود، همگام سازی پایدار و در غیر این صورت همگام سازی ناپایدار است. پیش از این پایداری همگام سازی کامل برای شبکه هایی که جمع عناصر روی هر سطر آن ها صفر است، بررسی شده است. نشان می دهیم که پایداری همگام سازی فقط در شبکه هایی امکان پذیر است که جمع مقادیر عناصر روی هر سطر آن ها مقدار ثابتی باشد. سپس روش محاسبه ی تابع پایداری اصلی را برای شبکه هایی که جمع عناصر روی سطرهای آن ها غیر صفر است، به کار می بریم.